בגרות 571 חורף 2025 – סדרות הנדסיותסדרות 571 · שיעור 64
חורף 2025, שאלה 2
שיעור 64: בגרות 571 חורף 2025 – סדרות הנדסיות
פרק 10 – 10 שאלות בגרות 571 – סדרות
1נוסח השאלה
2סעיף א – הסדרה A
3סעיף ב – הסדרה B הנדסית
4סעיף ג – תחום הערכים של k
5סעיף ד – k ו־b1
6סעיף ה – מחיקת כל איבר שלישי
📄 נוסח השאלה
נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם a1 , a2 , a3 , …, ובה m איברים (m הוא מספר טבעי גדול מ־4). נתון: כל איברי הסדרה A הם שליליים.
סכום m − 4 האיברים האחרונים בסדרה הוא פי 16 מסכום m − 4 האיברים הראשונים בסדרה.
א. (1) מצאו את מנת הסדרה A. (2) האם הסדרה A עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת? נמקו את תשובתכם.
📄 נוסח השאלה · המשך
המשיכו את הסדרה A כך שנוצרה סדרה הנדסית אין־סופית. נתונה סדרה אין־סופית B שאיבריה מקיימים bn = knan לכל n טבעי. k הוא פרמטר שונה מ־0.
ב. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, והביעו את המנה שלה באמצעות k.
נתון כי סכום הסדרה B מתכנס. ג. מצאו את תחום הערכים האפשרי של k.
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון: מנת הסדרה B היא 14. סכום הסדרה B הוא −3. ד. מצאו את הערך של k ואת הערך של b1.
בסדרה B מחקו כל איבר שלישי (b3 , b6 , b9 , …). ה. מצאו את סכום האיברים שנשארו בסדרה B.
סעיף א – הסדרה A
(1) המנה
נסמן את המנה ב־q. כל איבר מבין m − 4 האחרונים (a5 , … , am) נמצא 4 מקומות אחרי איבר מתאים מבין m − 4 הראשונים (a1 , … , am−4):
a5 = a1q4 , a6 = a2q4 , …
📐 נוסחה: האיבר הכללי בסדרה הנדסית
לכן סכום האחרונים שווה לסכום הראשונים כפול q4:
q4 · Sm−4 = 16 · Sm−4
q4 = 16 ⇐ q = 2 או q = −2
📐 נוסחה: האיבר הכללי בסדרה הנדסית
an = a1 · qn−1
סעיף א – הסדרה A · המשך
q4 = 16 ⇐ q = 2 או q = −2
כל האיברים שליליים, ולכן אין החלפת סימן בין איברים סמוכים: q > 0, כלומר q = 2.
✅ פתרון סופי: q = 2
סעיף ב – הסדרה B הנדסית
נראה שהמנה bn+1bn קבועה:
bn+1bn = kn+1an+1 · ankn = k · anan+1
= k · 12 = k2
📐 נוסחה: מנה בסדרה הנדסית
המנה קבועה (לא תלויה ב־n), ולכן B סדרה הנדסית עם מנה k2.
✅ פתרון סופי: B הנדסית, המנה k2
📐 נוסחה: מנה בסדרה הנדסית
an+1an = q = 2
סעיף ג – תחום הערכים של k
סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנס כאשר −1 < q < 1 (q ≠ 0).
📐 משפט
−1 < k2 < 1 ⇐ −2 < k < 2
בנוסף k ≠ 0:
−2 < k < 0 או 0 < k < 2
✅ פתרון סופי: −2 < k < 0 או 0 < k < 2
📐 משפט
תנאי התכנסות – −1 < q < 1
סעיף ד – k ו־b1
k2 = 14 ⇐ k = 12
b11 − 14 = −3
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית
b1 = −3 · 34 = −94
✅ פתרון סופי: k = 12 , b1 = −94
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית
S = a11 − q
סעיף ה – מחיקת כל איבר שלישי
האיברים שנמחקו, b3 , b6 , b9 , …, הם סדרה הנדסית אין־סופית: האיבר הראשון b3 והמנה (14)3 = 164 (כל איבר נמצא 3 מקומות אחרי קודמו).
b3 = b1 · q2 = −94 · 116 = −964
📐 נוסחה: האיבר הכללי
Sנמחקו = −9641 − 164 = −964 · 6463 = −17
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית
סכום האיברים שנשארו = הסכום הכולל פחות סכום האיברים שנמחקו:
−3 − (−17) = −3 + 17 = −207 = −267
✅ פתרון סופי: −207 = −267
📐 נוסחה: האיבר הכללי
an = a1 · qn−1
📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית
S = a11 − q
📌 סיכום התשובות
סעיף א (1)
q = 2
סעיף א (2)
יורדת
סעיף ב
הוכחה; המנה k2
סעיף ג
−2 < k < 0 , 0 < k < 2
סעיף ד
k = 12 , b1 = −94
סעיף ה
−207 = −267
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא